Paradoja de Galileo

Consideremos el conjunto de los números naturales N={0,1,2,3,4,5,6,.......}, en este conjunto hay números que son cuadrados perfectos, o sea, que son el cuadrado de otro número natural, p.ej. 0=0², 1=1², 4=2², 9=3², 16=4², etc., consideremos este conjunto, al que llamaremos C={0,1,4,9,16,25,36,.......}, claramente C es una parte de N, C es un subconjunto de N, y por la lógica más elemental debería ser N más grande que C, veamos, siguiendo también la lógica que en realidad los dos tienen el mismo tamaño.

Si tomamos cualquier elemento de N, existe un único elemento en C que está relacionado con este, que es su cuadrado.

Si tomamos cualquier elemento de C, existe un único elemento de N que está relacionado con este, que es su raíz cuadrada.

Estas dos deducciones anteriores se cumplen para todos los elementos de C y todos los elementos de N, por lo tanto ninguno puede tener más elementos que el otro, por lo que son iguales.

Conclusión:

Si los conjuntos son finitos sí se cumple que el total es mayor que la parte, pero cuando hablamos de conjuntos infinitos no siempre es cierto y hay veces que el total tiene el mismo tamaño que la parte.

Esto pasa no solo en el ejemplo que nos ha servido para desarrollar este tema, sino también en otros casos muy curiosos, como por ejemplo, si consideramos el conjunto de los números naturales N anterior y el conjunto de los números racionales Q, que son todos los números que se pueden escribir como una fracción, es fácil ver que N es una parte de Q, ya que todo número natural lo puedo escribir como la fracción en la que el numerador es el propio número natural, y el denominador es 1, 1=1/1, 2=2/1, 3=3/1,.....etc., también es fácil ver como hemos hecho con N y C, aunque no lo haremos aquí para no liar más, que su tamaño es el mismo, y también es fácil demostrar que entre dos números naturales cualesquiera hay infinitos racionales, por ejemplo, entre el 0 y el 1 tenemos a 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ..... etc. que son todos racionales, con lo que tenemos que la parte N, es del mismo tamaño que el total Q, pero además entre dos números naturales cualesquiera hay infinitos racionales.

Por todo esto, alguien puede pensar que, entonces, cuando los conjuntos y sus partes son infinitos siempre son iguales, pero no es así, hay conjuntos y partes infinitas que se demuestra que el todo es mayor que la parte, por ejemplo, si consideramos el conjunto de los números reales R, que podemos considerar como el conjunto de todos los números, esto no es una definición formal, solo es para que sea comprensible para personas que no tienen mucha relación con las matemáticas, es claro que tanto N como Q son partes de R, sin embargo se demuestra que hay muchos más números reales que naturales y que racionales, por lo tanto aunque todos tienen infinitos elementos hay infinitos que son más grandes que otros infinitos.

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